Reglas de derivación o diferenciación.

Actividad# 1: Se colocará en el blog el siguiente cuadro completado y las respuestas que aparecen al final de este apartado.

Nombre	Enunciado (La regla de derivación expresada en palabras)	Función (Es una generalización)	Función derivada	Ejemplo
				Función	Derivada	Planificación y argumentación
Derivada de una constante	La derivada de una constante es cero.	y = k	y’ = 0	y=ln(3)	y’ =0	Analizo la función, observo que es un número real, no depende de ninguna variable, por lo tanto su derivada es cero.
Derivada de una potencia (exponente un número real)	La derivada de una potencia es el valor del exponente multiplicando a la variable elevada al exponente menos la unidad	y = xn	y’ = n xn-1	Y= x^4	Y’=4x3	Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad .
Derivada de una constante por una función	La derivada de una constante por una función es la misma constante por la derivada de la función.	y=k f(x)	Y’= k f’(x)	Y= 5x^3	Y’=5.3x^2 Y’=15x^2	Estudio las características de la función, si es el producto de una constante por una función, derivo la función y la multiplico por la misma constante.
Derivada de una suma de  funciones	La derivada de una suma  (o diferencia ) de funciones es la suma (o la diferencia) de las derivadas	Y= f(x)+/-g(x)	Y’= f’(x)+/-g’(x)	y = 6+3x5	y’=0+15x4 y’= 15x4	Se observa la función, se confirma que sea una suma o diferencia de funciones y se deriva cada función y se deja sumando o restando, al final si se puede simplificar o agrupar se hace.
Derivada de un producto de  funciones	La derivada de una producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar	Y=f(x)g(x)	Y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)	Y’=(x^2+5)(x^3)	Y’=(x^2+5)’(x^3)+(x^2+5)(x^3)’ Y’=(2x)(x^3)+(x^2+5)(3x) Y’=2x^4+3x^3+15x	Se observa cual es la primera función y cual es la segunda. Se coloca la derivada de la primera por la segunda original, sumando a la primera original por la derivada de la segunda. Se resuelve la derivación y se simplifica
Derivada de un cociente de  funciones	La derivada de un cociente de funciones es un fracción que tiene por numerador  la derivada  del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, todo dividido entre el denominador original al cuadrado	Y= f(x)       g(x)	Y’=f’(x)g(x)-f(x)g’(x)                 g(x)^2	h(x)=3x+1                       2x	h’(x)=(3)(2x)-(3x+1)(2)   (2x)^2 h’(x)= 6x-6x-2  =  - 1                       4x^2          2x^2	Se analiza la función. Se identifica la función que esta en el numerador y la que esta en el denominador. Se escribe la derivada del numerador por el denominador y se le resta el numerador por la derivada del denominador, y se divide todo entre el denominador elevado al cuadrado. Es recomendable no desarrollar el denominador.
Derivada de logaritmo neperiano	La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a uno entre x. La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función dividida entre dicha función.	Y= ln(x) Y=ln(u)	Y’=1      X Y’=u’     u	f(x)=(2x^4–x^3+3x^2–3x)	f’(x)= 8x^3-3x^2+6x-3   2x^4-x^3+3x^2-3x	Se identifica que tipo de logaritmo es. Si la función es el logaritmo neperiano de x, para derivar se coloca uno entre x. Y si es el logaritmo neperiano de una función se derivada  la función y se divide entre la misma función sin derivar.
Derivada de exponencial	La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente. La derivada de la función exponencial de base e es igual a la misma función por la derivada del exponente.	Y=e^x Y= a^x Y=a^u	Y’=e^x Y’=a^x.lna Y’=u’.a^u.lna	f(x)= 3^x f(x)=2^x^2-1	f’(x)=3^x.ln3 f’(x)=2x.2^x^2-1	Se estudia la función para ver que tipo de exponencial es. Si es e^x la derivada es la misma expresión. Si es a^x se coloca la misma expresión multiplicando al logaritmo neperiano de la base. Finalmente si es del tipo a^u, se escribe la derivada del exponente por la expresión original por el logaritmo neperiano de la base.

Función trigonométrica	Derivada
y=cos (x) y=sen(x) y=tg(x) y=ctg(x) y=sec(x) y=csc(x)	Y’=-sen(x) Y’=cos(x) Y’=sec^2(x) Y’=-csc^2(x) Y’=sec(x).tag(x) Y’=-csc(x).cotg(x)

Una vez completado el cuadro, responde:

1. Antes de aplicar una regla de derivación, ¿qué debes hacer, independientemente de cuál sea la función?

Antes de aplicar una regla de derivación debemos analizar la función para saber cual es la regla adecuada que debemos aplicar.

   

      2.  ¿Se puede aplicar la misma regla a todas las funciones? ¿Por qué?

No, ya que no todas las funciones tienen las mismas características ni las mismas formas de resolución.

     3. ¿Se puede derivar una misma función utilizando reglas diferentes? ¿Por qué?

Si se puede derivar una función utilizando reglas diferentes porque una misma función se puede expresar de diferentes formas y dependiendo de cómo se exprese la función se aplica la regla.

    

Actividad Nº2

Planifica tu propia estrategia para derivar funciones. Para ello, formula preguntas que debes responder antes de derivar, mientras derivas y después que derivas cualquier función

Antes de comenzar a derivar una función debemos identificar cual es la función que abarca todo el ejercicio, ya por esa se va a comenzar a derivar. Después de haber analizado el ejercicio desarrollamos las reglas según el orden que hayamos planificado.  Después de haber desarrollado el ejercicio realizamos simplificación y factorización donde se aplique el caso.

HIPÉRBOLA

CONCEPTOS:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

 

ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA

Focos: Son los puntos fijos F y F'.

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.

Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.

Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a.

Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

(puntos relacionados con la imagen anterior).

TIPOS Y CARACTERÍSTICAS

Características
1. La hipérbola posee una excentricidad mayor que uno, la cual se define como la distancia del centro hacia
uno de los focos, dividida, la distancia del centro a uno de los vértices.
2. La longitud del eje mayor se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los puntos del eje mayor.
3. La longitud del eje conjugado se define como dos veces la distancia del centro hacia cualquiera de los
puntos del vértice del eje menor. 

Tipos

1. Hipérbola vertical: Si el centro de la hipérbola C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x₀, y₀+ c) y F'(x₀, y₀ − c). Y la ecuación de la hipérbola será:

2. Hipérbola horizontal: Si el centro de la hipérbola es C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x₀+c, y₀) y F'(x₀− c, y₀). Y la ecuación de la hipérbola será:

LEYES - PRINCIPIOS - NORMAS - EXCEPCIONES

Leyes

La Ley de Boyle, pv= C, es una relación hipérbola. Esto mismo se puede afirmar de la relación que existe entre dos cantidades. Cualesquiera que sean inversamente proporcionales.

Normas 

Para identificar la ecuación canónica de una hipérbola:

- Ambas variables tienen que estar elevadas al cuadrado.

- El segundo miembro tiene que ser = 1.
- Los coheficientes de las variables tienen que ser distintos. 

- Los coheficientes con sus variables tienen que ser de diferente signo.

TEOREMAS, DEMOSTRACIONES Y ECUACIONES

Teoremas
La ecuación de una hipérbola con centro en el punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la forma:
(x - h)² / a² - (y - k)² / b² =1, sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k) y sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).

Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación es de la forma: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1, sus focos son (h , k + c) y (h, k - c) y sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).

Donde para cada parábola a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado y c la distancia del centro a cada foco; a, b, c están ligadas por la relación c² = a² + b².. También la longitud de cada lado recto es 2b² / a y la excentricidad está dada por la relación e = c /a.

Ecuaciones

Ecuación reducida en el origen de la hipérbola:

Ecuación de la hipérbola de eje horizontal:

- Si el centro de la hipérbola es C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(x₀+c, y₀) y F'(x₀− c, y₀). Y la ecuación de la hipérbola será:

Ecuación de la hipérbola de eje vertical:
-  Si el centro de la hipérbola C(x₀, y₀) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x₀, y₀+c) y F'(x₀, y₀− c). Y la ecuación de la hipérbola será:

 Ecuación general de la hipérbola:

PROCEDIMIENTOS

El procedimiento que se debe seguir para realizar un ejercicio de hipérbolas es el siguiente: 

   1. Cuando en el enunciado nos dan la ecuación general para transformarla en canónica y así poder encontrar las partes de la Hipérbola.

Paso 1: Colocar el termino independiente del otro lado de la igualdad.

Paso 2: Agrupar las variables (x,y) 

Paso 3: Sacar factor común dejando las variables al cuadrado con coheficiente 1

Paso 4: se completa el cuadrado. 

Paso 5: Se suman los factores. 

Paso 6: El termino independiente l pasamos dividiendo para igualar la ecuación a 1.

Paso 7: los términos que multiplican a los cuadrados los pasamos dividiendo y simplificamos.  

Al tener la ecuación Canónica podemos deducir algunos puntos claves para la graficación de la hipérbola.

2. Cuando en el enunciado nos dan la ecuación canónica para convertirla en la ecuación general se deben realizar los siguientes pasos:
Paso 1: sacamos m.c.m para eliminar el denominador.
Paso 2: se resuelven los polinomios.
Paso 3: se resuelve la distributiva.
Paso 4: se iguala la ecuación a 0.
paso 5: se agrupan los términos semejantes.
- La ecuación resultante seria la ecuación general de la Hipérbola.

GRÁFICAS

 Gráfica de la hipérbola horizontal.

Gráfica de hipérbola vertical.

EJERCICIOS ''TIPO''

Representa gráficamente

 1.

                                                              

2.-

 

ERRORES COMUNES

* Resolucion de los polinomios.
* No identificar claramente el eje de la hipérbola.

* Escribir los signos contrarios.

* El cambio de signos de las coordenadas del centro C(h,k)

CONOCIMIENTOS PREVIOS

1. Álgebra.
2. Ecuaciones. (segundo grado)
3. Aritmética (propiedades de los números reales).

 LINKS:
http://www.vitutor.com/geo/coni/hActividades.html
http://www.vitutor.com/geo/coni/h_5.html
http://www.vitutor.com/geo/coni/h_6.html
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t1-cónicas/4-Hipérbola/index.html
http://html.rincondelvago.com/elipse-e-hipérbola.html
Guia de cónicas de Alicia Díaz Escobar

IDENTIFICACIÓN DE LOS TIPOS Y ELEMENTOS DEL TRÍANGULO

Un triángulo, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos que no se encuentran alineados. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

ABC: Vértices;  abc: Lados; abc: Ángulos

Clasificación de los triángulos según la amplitud de sus ángulos.

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

 

Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Clasificación de los triángulos según el tamaño de sus lados

Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)

Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Rectas y puntos notables de un triángulo

Altura: cada una de las tres rectas que pasan por un vértice del triángulo y que son perpendiculares al lado opuesto del vértice.

Mediana: El segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: las perpendiculares a los lados que pasan por sus puntos medios.

Bisectriz: segmento de recta que divide un ángulo en 2 partes iguales.

Ortocentro: Es el punto donde se intersectan la 3 alturas de un triángulo.

Baricentro: es el punto donde se intersectan las medianas de un triángulo.

El Circuncentro: es el punto en el que se intersectan las tres mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.

El Incentro: (símbolo I) es el punto en el que se intersectan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.

Link: http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo 

Este es el link de los conceptos. las imagenes fueron descargadas por medio del buscador de imagenes de google.



 
Análisis del video  

1. El concepto que aparece reflejado es el concepto de mediatriz, en la animación de los triángulos verdes se comienzan a formar polígonos irregulares de 6 lados uniendo los triángulos, después trazan la mediatris a los lados internos de los triángulos formando otro polígono irregular de 6 lados.

2. Es un excelente video, muy interesante. Lo que mas me llamó la atención fueron las imágenes, son muy bonitas y tienen una muy buena resolución. También es interesante la relación que hacen entre la naturaleza y los números.